电磁场与电磁波学习笔记(2)
电磁场与电磁波学习笔记(2)
标量场的梯度
定义：某一点处，定义某一矢量，取最大的方向导数值和值取到的方向记作这点的梯度，记作grad u
$\nabla$ 是拉普拉斯算子（三维空间中的二阶偏导），定义为：
$$
\nabla = （\frac{\partial}{\partial x} ， \frac{\partial}{\partial y} ， \frac{\partial}{\partial z}）
$$
矢量场的散度
矢量线
概念：矢量线上任一点的切线方向表征了该点矢量场的方向，矢量线的疏密表征了 矢量场的大小
tips：
• 矢量场中每一点只有唯一一条矢量线通过；
• 矢量线充满整个矢量场所在空间；
• 矢量场→矢量线 versus 标量场→等值面
矢量函数的通量（Flux）
通量描述矢量场 $\mathbf{F}(x, y, z)$ 穿过某一曲面 $S$ 的“流量”，其数学定义为：
$$
\Phi = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}
$$
其中：
- $\mathbf{F}$ 为矢量场（如电场、流速场）；
- $\mathrm{d}\mathbf{A}$ 是曲面 $S$ 的微元面积向量，方向垂直于曲面；
- $\cdot$ 表示矢量的点积运算。
物理意义：
- 若 $\Phi > 0$，表示矢量场总体“流出”曲面，有正源；
- 若 $\Phi < 0$，表示矢量场总体“流入”曲面，有负源；
- 若 $\Phi = 0$，表示流入流出量平衡，无源或抵消。
矢量函数的散度（Divergence）
散度是描述矢量场 $\mathbf{F}(x, y, z)$ 在某点“发散程度”的标量量度，定义为：
$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$
其中：
- $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ 是 Nabla 算子；
- $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$ 为三维矢量函数。
物理意义
- $\nabla \cdot \mathbf{F} > 0$：该点是矢量场的“源头”；
- $\nabla \cdot \mathbf{F} < 0$：该点是矢量场的“汇点”；
- $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$：矢量场在该点无净发散（如不可压缩流体的速度场）。
高斯定理（散度定理）
闭合曲面 $S$ 的通量与其包围体积 $V$ 的散度积分满足：
$$
\oiint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F}) , \mathrm{d}V
$$
示例
点电荷的电场：静电场 $\mathbf{E}$ 的散度满足高斯定律：
$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
$$不可压缩流体：
速度场 $\mathbf{v}$ 的散度为 0：$$
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0
$$
矢量场的基本恒等式
1. 旋度的散度恒为零
对任意光滑矢量场 $\mathbf{F}(x, y, z)$，其旋度的散度恒等于零：
$$
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0
$$
数学推导：
由矢量恒等式，展开旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$ 的散度：
$$
\nabla \cdot \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) = 0
$$
物理意义：
- 说明旋度场是无源场（如磁场 $\mathbf{B}$ 的散度 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$）。
2. 梯度的旋度恒为零
对任意光滑标量场 $\phi(x, y, z)$，其梯度的旋度恒等于零：
$$
\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}
$$
数学推导：
由矢量恒等式，展开梯度 $\nabla \phi$ 的旋度：
$$
\nabla \times \nabla \phi = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
\frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z}
\end{vmatrix} = \mathbf{0}
$$
物理意义：
- 说明梯度场是无旋场（如静电场 $\mathbf{E} = -\nabla V$ 的旋度 $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$）。
拉普拉斯算子的补充
标量场的拉普拉斯算子定义为梯度的散度：
$$
\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi)
$$
矢量场的拉普拉斯算子则需逐分量计算：
$$
\nabla^2 \mathbf{F} = (\nabla^2 F_x, \nabla^2 F_y, \nabla^2 F_z)
$$
