电磁场与电磁波学习笔记(3)

静电场

电荷

体电荷

连续但不一定均匀分布在体积V内电荷成为体电荷

$$
\rho(\vec{r}) = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta V} = \frac{dq(\vec{r})}{dV} \quad \text{C/m}^3
$$

面电荷

电荷连续分布在一个厚度趋向0的薄层内，成为面电荷

$$
\rho(\vec{r}) = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S} = \frac{dq(\vec{r})}{dS} \quad \text{C/m}^2
$$

线电荷

电荷连续分布在横截面可以忽略的细线上，成为线电荷

$$
\rho(\vec{r}) = \lim_{\Delta L \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta L} = \frac{dq(\vec{r})}{dL} \quad \text{C/m}^1
$$

点电荷

体积很小、密度很大的带点球体的极限

$$
\delta(\vec{r})=\delta(x,y,z)=
\begin{cases}
0 & \vec{r}!= 0,\
\infty & \vec{r} = 0.
\end{cases}
$$

库仑定律

$$
\vec{F} = \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^3} \vec{r} \quad
$$

静电场的散度和高斯定理

由库仑定律得到的电场强度公式如下

$$
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V^{\prime}}\frac{\vec{R}}{R^3}\rho(\vec{r})\mathrm{d}v
$$

利用等式$\nabla\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{\vec{R}}{R^3}$ 可将上式化为

$$
E(r)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V^{\prime}}\rho(r^{\prime})\nabla\left(\frac{1}{R}\right)\mathrm{d}v^{\prime}
$$

对等式两边场点坐标（x,y,z）做散度运算

$$
\nabla\bullet E(r)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V^{\prime}}\rho(r^{\prime})\nabla^{2}\left(\frac{1}{R}\right)\mathrm{d}v^{\prime}
$$

利用关系式

$$
\nabla^{2}\left({\frac{1}{R}}\right)=-4\pi\delta(r-r^{\prime})
$$

上述式子可化为

$$
\nabla\bullet E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V^{\prime}}\rho(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime})\mathrm{d}v^{\prime}
$$

由$\delta$函数的性质，可得

$$
\nabla\bullet E(r)=\begin{cases}\quad0&(r\text{位于区域}V^{\prime}\text{ 外})\\frac{1}{\varepsilon_0}\rho(r)&(r\text{位于区域}V^{\prime}\text{ 内})&\end{cases}
$$

这就是真空中高斯定律的微分形式

静电场的旋度和环路定律

由于电场强度公式中，$\nabla$仅对场点坐标求导，所以可将其提出，即

$$
E(\mathbf{r})=-\nabla\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V^{\prime}}\frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{R}\mathrm{d}v^{\prime}\right]
$$

对上述两边求旋度，由于任何标量函数的梯度的旋度恒为0，故上式右端为0，则可得

$$
\nabla\times E=0
$$

这就是真空中环路定理的微分形式